SOAL DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINEAR ULANGAN HARIAN 1

Seorang pembuat kue mempunyai 8.000 gr tepung dan 2.000 gr gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.

Pembahasan : 

Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya. 

Bahan yang tersedia:

Tepung = 8 kg = 8000 g

Gula = 2 kg = 2000 g

Misalkan : 

Jumlah kue dadar = x 

Jumlah kue apem = y 

Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut : 

Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :

20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y ≤ 800

10x +5y = 2000 ---> 2x + y ≤ 400

x ≥ 0 dan y ≥ 0 

dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y 

Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik. 

Untuk garis 2x + 5y = 800 

x = 0, y = 160 ---> (0, 160) 

y = 0, x = 400 ---> (400, 0) 

Untuk garis 2x + y = 400 

x = 0, y = 400 ---> (0, 400) 

y = 0, x = 200 ---> (200, 0) 

Sistem pertidaksamaan linear 

Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400 

Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan : 

A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000 

B(100, 150) ---> F(x,y) = 300(100) + 500(150) = 105.000 

C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000 

Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 105.000,00.

Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Pembahasan :

Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut : 

untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00 

untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00 

Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :

F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Model matematika yang memenuhi soal adalah : 

x ≥ 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatif 

y ≥ 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatif 

x + y ≤ 15 ---> karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor. 

Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka : 

9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000 ---> disederhanakan menjadi : 9x + 8y ≤ 124 

Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik. 

Untuk x + y = 15 

jika x = 0, maka y = 15 ---> (0,15) 

jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0) 

Untuk 9x + 8y = 124 

jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2. 

jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00. 

Dari grafik di atas diperoleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.

x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124 

9(15 - y) + 8y = 124 

135 - 9y + 8y = 124 

y = 11 

x + y = 15

x + 11 = 15

x = 4 ----> jadi titik B(4,11)

Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan : 

A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000 

B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000 

C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau. 

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut. 

Pembahasan : 

Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya.

Berikut untung penjualan : 

mangga = 9.200 - 8.000 = 1.200 

pisang = 7.000 - 6000 = 1.000 

misalkan : 

jumlah mangga = x 

jumlah pisang = y 

maka fungsi tujuannya adalah :

F(x,y) = 1.200x + 1.000y

Model matematika atau sistem pertidaksamaan yang memenuhi soal tersebut adalah : 

x + y ≤ 180 

8.000x + 6.000y ≤ 1.200.000 ---> 4x + 3y ≤ 600 

x ≥ 0 

y ≥ 0 

Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y : 

Garis x + y = 180 

untuk x = 0 , y = 180 ---> (0, 180) 

untuk y = 0, x = 180 ---> (180,0) 

Garis 4x + 3y = 600 

untuk x = 0, y = 200 ---> (0, 200) 

untuk y = 0, x = 150 ---> (150, 0) 

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah : 

Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600. 

Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) 1.200x + 1.000y :

A (0, 180) ---> F(x,y) =1.000(180) = 180.000

B (60, 120) ---> F(x,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000

C (150,0) ---> F(x,y) = 1.200(150) = 180.000

Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00.

Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati dan 1 kaleng cat pernis. Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.

Pembahasan:

Karena yang ditanya adalah biaya produksi minimum, maka ongkos produksi masing-masing tipe lemari merupakan fungsi tujuannya. Bila kita misalkan tipe lux = x dan tipe sport = y, maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut :

F(x,y) = 40.000x + 28.000y

Selanjutnya, model matematika untuk kendala yang diberikan adalah seperti di bawah ini. Perhatikan bahwa tanda pertidaksamaan yang digunakan untuk soal penentuan nilai minimum adalah lebih dari sama dengan (≥) seperti di bawah ini : 

x ≥ 2 ---> karena tipe lux paling sedikit 2 buah 

y ≥ 4 ---> karena tipe sport paling sedikit 4 buah 

10x + 6y >= 120 ---> kayu jati yang digunakan paling sedikit 120 batang 

3x + y ≥ 24 ---> cat pernis yang digunakan paling sedikit 24 kaleng 

Titik potong masing-masing kendala terhadap sumbu x dan sumbu y adalah sebagai berikut : 

untuk 10x + 6y = 120 

misal x = 0, maka y = 20 ---> (0,20) 

misal y = 0, maka x = 12 ---> (12,0) 

untuk 3x + y = 24 

misal x = 0, maka y = 24 ---> (0,24) 

misal y = 0, maka x = 8 ---> (8,0) 

Setelah itu kita gambarkan grafik sesuai dengan titik-titik yang telah kita peroleh dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Karena lebih besar sama dengan (>=), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas/kanan garis. 

Dari garfik di atas jelas terlihat bahwa terdapat tiga titik pojok yang akan diuji untuk dilihat titik manakah yang menghasilkan nilai minimum.

Titik C merupakan perotongan antara garis y = 4 dan 10x + 6y = 120. Dengan mensubstitusi nilai y = 4 pada persamaan 10x + 6y = 120, maka diperoleh : 

10x + 6(4) = 120 

10x = 96 

x = 9,6 = 9 ---> digenapkan 9 karena tidak mungkin 0,6 buah. 

maka titik C(9,4) 

Titik B merupakan perpotongan antara garis 10x + 6y = 120 dan garis 3x + y = 24. Dengan metode substitusi diperoleh : 

3x + y = 24 ---> y = 24 - 3x ---> substitusi ke persamaan 10x + 6y = 120 

10x + 6(24 - 3x) = 120 

10x + 144 - 18x = 120 

-8x = -24 

x = 3 

Sunstitusi x = 3 ke persamaan y = 24 - 3x 

y = 24 - 3(3) = 15 ---> titik B(3,15) 

Titik A merupakan perpotongan antara garis 3x + y = 24 dengan x = 2. Dengan mensubstitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 24, maka diperoleh : 

3(2) + y = 24 

y = 24 - 6 

y = 18 ---> titik A(2,18) 

Langkah terakhir, substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan F(x,y) = 40.000x + 28.000y sebagai berikut : 

A(2,18) ---> F(x,y) = 40.000(2) + 28.000(18) = 584.000 

B(3,15) ---> F(x,y) = 40.000(3) + 28.000(15) = 540.000 

C(9,4) ---> F(x,y) = 40.000(9) + 28.000(4) = 482.000 

Jadi agar biaya produksi minimum, perusahaan sebaiknya memproduksi 9 buah lemari tipe lux dan 4 buah lemari tipe sport dengan biaya produksi Rp 482.000,00

Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum.

Pembahasan : 

Agar ongkos kirim minimum, maka fungsi tujuannya adalah ongkos sewa. Misal truk = x dan colt = y, maka fungsi tujuannya menjadi :

F(x,y) = 200.000x + 160.000y

Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut : 

30x + 40y ≥1.200 ---> 3x + 4y ≥ 120 

20x + 10y ≥ 400 ---> 2x + y ≥ 40 

x >= 0 

y >= 0 

Tentukan titik koordinat garis kendala yang diperoleh sebagai beikut :

untuk 3x + 4y ≥ 120

misal x = 0, maka y = 30 ---> (0,30)

misal y = 0, maka x = 40 ---> (40,0) 

untuk 2x + y ≥ 40 

misal x = 0, maka y = 40 ---> (0,40) 

misal y = 0, maka x = 20 ---> (20,0) 

Gambarkan ke dalam grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya seperti berikut :

Dari grafik di atas,diperoleh titik A(0,40), B(8,24), dan C(40,0). Untuk memastikan titik mana yang menghasilkan nilai minimum, ada baiknya kita uji satu-persatu.

A(0,40) ---> F(x,y) = 200.000(0) + 160.000(40) = 6.400.000

B(8,24) ---> F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000 

C(40,0) ---> F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000 

Jadi agar biaya pengiriman minimum, pedagang tersebut sebaiknya menyewa 8 truk dan 24 colt.

Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan 6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.

Pembahasan :

Dengan memisalkan padi = x dan jagung = y, fungsi tujuan yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut : 

F(x,y) = 400.000x + 200.000y

Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah : 

x >= 2 ---> paling sedikit 2 hektar padi 

x <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi 

y >= 4 ---> paling sedikit 4 hektar jagung 

y <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi 

x + y >= 10 ---> tanah tidak kurang 10 hektar 

Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4). Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh : 

A(4,6) ---> F(x,y) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000 

B(6,6) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000

C(6,4) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000

Jadi agar biaya tanam minimum, petani sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung. 

                                                                                                                               BY MR, BEBE